Занятие 4. ИНЖЕНЕРНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ

Нормальные напряжения s приводятся к паре сил с моментом

который называется изгибающим моментом относительно оси x. Подставляя соотношения (4.2) в (4.3), получим

∫_Ay²dA = I_x представляет собой геометрическую характеристику сечения стержня и называется моментом инерции сечения относительно оси x. С учетом этого обозначения будем иметь

M_x = E·κ·I_x . (4.4)

Знак момента определяется знаком координаты y и напряжения σ _z и совпадает со знаком кривизны. Из соотношения (4.2): κ = σ_z / (E·y). Подставляя это выражение в (4.4), получим формулу, связывающую изгибающий момент с напряжениями в связях

M_x = σ _z·I / y . (4.5)

Геометрические характеристики часто встречающихся сечений приведены в таблице 4.1, а прокатных профилей - в таблицах 4.2 и 4.3.

Таблица 4.1. Характеристики сечений

Таблица 4.2. Двутавры стальные горячекатаные. СОРТАМЕНТ ГОСТ 8239-89/p>

Таблица 4.3. Швеллеры стальные горячекатаные. СОРТАМЕНТ ГОСТ 8240-89

4.2.3. Сдвиг (срез)

Деформацию сдвига (среза) можно наблюдать на оси грузового устройства (рис.4.5). Приложенная к крюку нагрузка будет стремиться опустить его вниз, перерезая при этом ось, поддерживающую крюк, по сечению AC, совпадающему с боковой гранью крюка. Сдвигу (срезу) волокон стержня по этому сечению будут препятствовать внутренние связи, но при этом в них появятся деформации Δ, которые принято определять через угол сдвига (рис. 4.5). В соответствии с гипотезой плоских сечений деформация сдвига для всех связей в сечении AC одинакова, а вследствие малости перемещений

γ = tg γ = Δ / l.

Рис. 4.5. Сдвиг (срез) а - схема среза втулки подъемного устройства крана, б -деформация сдвига элемента АВСD, в - напряжения и усилие в сечении 1

Все остальные деформации связей в сечении отсутствуют, то есть

ε_z = ε _x = ε _y = 0, γ_zx = γ_yx = 0 .

Если в плоскости среза разрезанные связи заменить напряжениями (рис.4.5), то в соответствии с физическими соотношениями (3.10)

σ_z = σ _x = σ _y = 0, τ_zy= G·γ, τ_zx = τ_xy = 0. (4.6)

Равнодействующая касательных напряжений в данном случае называется поперечной силой при сдвиге. С учетом равномерного распределения τ_zy по сечению ее значение будет равно

Q_{с д.в}=∫_Aτ_zy·dA=τ_zy·A. (4.7)

Знак поперечной силы определяется знаком касательных напряжений

4.2.4. Кручение круглого стержня

Деформация кручения характерна для работы валов. Примером вала является прямолинейный стержень круглого сечения, один конец его закреплен неподвижно, а к другому крепится устройство, через которое передается нагрузка, стремящаяся повернуть вал вокруг его оси (рис.4.6).

Рис. 4.6. Кручение а -общий вид стержня, б - схема скручивания, в - деформация элемента АВСD, г - касательные напряжения (τ) и усилие - крутящий момент (М _кр)

При этом в стержне продольные деформации отсутствуют, то есть ε_x = ε_y = ε_z = 0,

а в плоскости xoy происходит сдвиг (поворот) одного сечения относительно другого (рис.4.6). Угол сдвига для каждого сечения γ и, следовательно, удлинение радиальных волокон Δ определяются общим углом закручивания стержня γ (рис.4.6). Рассматривая элементарный участок вала (рис.4.6), из простых геометрических соображений с учетом малости угла закручивания, легко установить, что tg γ = γ = Δ/l = r·d γ _r /dz. Величина d γ _r/dz - относительный угол закручивания - имеет размерность м^-1 и обозначается обычно θ.

По соотношению (3.10) с учетом относительного угла закручивания напряжения в крайних волокнах (рис.4.6)

τ_r = G·θ·r,

а в произвольном сечении на расстоянии ρ от центра сечения

τ_ρ= G·θ·ρ. (4.8)

С учетом характера распределения эти напряжения называются радиальными. Они приводятся к паре (рис. 4.6, г), называемой крутящим моментом, который определяется по формуле

Величину ∫_Aρ²dA называют полярным моментом инерции сечения и обычно обозначают через I_ρ , тогда

M _кр. = G·θ·I_ρ (4.9)

или с учетом соотношения (4.8)

4.2.5. Поперечный изгиб

В отличие от чистого изгиба при поперечном изгибе стержня (рис.4.7) происходит не только удлинение и укорочение составляющих его волокон, но и сдвиг этих волокон относительно друг друга. Поэтому сечение разворачивается по отношению к продольной оси и искривляется (депланирует), перестает быть плоским. Гипотеза плоских сечений позволила во всех рассмотренных выше случаях получить зависимости между деформациями и напряжениями на основе простых геометрических соображений, в данном случае она оказывается неприемлемой. Дмитрий Иванович Журавский (1821-1891) предложил оригинальный выход из этого положения. Он ввел предположение, что депланация¹ сечений при поперечном изгибе не оказывает влияния на нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня, то есть, как и при чистом изгибе

а сказывается только на величине и распределении по сечению касательных напряжений τ. По Д.И. Журавскому

где b - ширина сечения в уровне действия напряжения τ, S - статический момент площади выше (ниже) этого уровня относительно центра тяжести сечения².

Рис. 4.7. Поперечный изгиб а - общий вид стержня, б - схема его изгибания, в - деформация элемента 1122, г - напряжения по граням параллелепипеда с основанием авсd

Равнодействующие напряжений в сечении - продольная сила N, моменты (изгибающие M_x , M_y и крутящий момент M_z) и поперечная сила (Q_x или Q_y) называются внутренними усилиями и представляют собой интегральные (суммарные) характеристики напряжений.

Для всех остальных видов деформации внутренние усилия можно получить на основе выведенных формул (4.1) - (4.12). Так как при малых перемещениях справедлив принцип суперпозиции, то все сложные деформации и соответствующие им усилия рассматриваются как сумма независимых простых деформаций или усилий. Рассматриваемые ниже виды напряженного состояния можно рассматривать как примеры использования этого принципа.