Занятие 5. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ. БАНК ПРЕДЕЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

П р и м е р ы 5.6-5.10 (для самостоятельного решения). Определить при внецентренном растяжении предельные продольные силы и изгибающие моменты для стержней с сечениями, представленными на рисунке 5.5.

Рис. 5.5. Поперечное сечение стержней а - кольцевое, б - коробчатое, в - двутавр № 20, г - коробчатое из швеллеров № 24, д - уголковое из уголка 100х10

5.3. Формирование банка предельных нагрузок

Опорной базой в оценке прочности по нагрузке является все сооружение в целом. Ввиду широкого разнообразия сооружений, сечений их элементов, материалов и самих нагрузок составление банка предельных нагрузок - трудоемкая и трудно выполнимая, особенно экспериментальным путем, задача. Этот банк главным образом составляется теоретически по известным банкам предельных напряжений и усилий. Но если такой банк имеется, то оценка прочности и проектирование существенно упрощаются. Важно также то, что оценивается прочность всего сооружения.

П р и м е р 5.11. Составить банк предельных нагрузок для балок пролетом 6 м, выполненных из стальных двутавров по ГОСТу 8239-72, сталь марки Ст3. Нагрузка равномерно распределена по всей длине (рис.5.6). Прогиб балки не должен превышать шести сантиметров (1/100 от пролета).

Р е ш е н и е. Рассмотрим двутавр высотой h с моментом инерции I . Так как сечение по длине стержня не меняется, наиболее опасным будет сечение с максимальным изгибающим моментом. В балке, загруженной по всему пролету распределенной нагрузкой, такой момент будет в середине пролета

M_{х при z=l/2} = ql²/ 8

где q - интенсивность нагрузки, l - пролет балки.

Максимальные нормальные напряжения возникают в крайних (верхних и нижних) волокнах сечения и равны

σ _{z max} = M_х h/(2I_x>).

Рис. 5.6. Расчетная схема балки и эпюра изгибающих моментов к ней

Максимальный прогиб будет так же в середине пролета
y = 5 ql⁴/(384 E I_x),
где E = 200 ГПа - модуль упругости стали.

Предельный прогиб y_np = l /100. Из условия жесткости
y ≤ y_np получим 5 ql⁴/(384 E I_x) ≤ l /100

откуда предельная нагрузка по условию ограничения прогиба 1/100 пролета составит

q_np ^ж = 3,84 E I_x,/(5 l³) = 0.768 E I,_x/ l³ (5.7)

Условие прочности σ _{z max} ≤ R_np, при подстановке в него напряжения, выраженного через изгибающий момент M, который в свою очередь зависит от нагрузки, преобразуется к виду

ql² h / (16I_x) ≤ R_np.

Откуда предельная нагрузка по условию прочности

q_np ⁿ ≤ 16R_npI_x / (l² h), (5.8)

где R_np = 270 МПа (см. табл. 5.1).

Из двух значений нагрузок, получаемых из условий жесткости (5.7) и прочности (5.8), выбирается меньшая.

Для получения численных значений предельной нагрузки преобразуем выражения (5.7) и (5.8), подставив в них известные величины, не зависящие от размеров двутавра. Тогда уравнение (5.7) примет вид (E = 200 ГПа,. l = 6 м), если I_x измеряется в м⁴

q_np ^ж = 0.768EI_x/l ³ = 0.768 ·2·10¹¹I_x/6³ = 0.0711·10⁸I_х, (5.9)

или q_np ^ж = 0.0711I_х, если I_x измеряется в см⁴, а уравнение (5.8) - вид
q_np ⁿ = 16R_npI_x / (l² h) = 1.2 I_х /h. (5.10)

где R_пр = 27000 кПа , I_x измеряется в см⁴, h в см

Если в полученные формулы (5.9) и (5.10) подставить момент инерции I_х в см⁴, а высоту h в см (см. ГОСТ 8239-89, помещенный в табл. 4.2), то нагрузку q_пр получим в Н/см, а чтобы перевести ее в привычную размерность кН/м необходимо ее в 10 раз уменьшить. Вычисления предельной нагрузки сведены в таблицу 5.9.

П р и м е р 5.12 (для самостоятельного решения). Построить банк данных по нагрузке (в зависимости от пролета) для черепных брусков кровли из условий прочности и жесткости. Черепные бруски сечением 5х5 см выполнены из сосны второго сорта с расчетным сопротивлением изгибу R = 7 МПа. Допустимый прогиб 1/50 от пролета.

Приведем справочные данные¹ для вычислений. Расчетная схема черепного бруска - двухпролетная балка с шарнирными опорами по концам и в середине. На средней опоре такой балки изгибающий момент равен ql² /8, момент в середине пролета - ql² /16. Прогиб в середине пролета ql⁴ /(192EI).

Таблица 5.9 Предельные нагрузки для балки из двутавров по ГОСТу 8239-72 (материал - сталь Ст3)